λ≥κ,λ-超紧。
伊卡洛斯基数:存在一个L(V_λ+1,lcuras)非平凡基本嵌入,其临界点低于λ,伊卡洛斯存在于V_λ+2-L(V_λ+1)。
完整性公理
|3:存在Vλ到自身的非平凡基本嵌入也就是存在非自明初等嵌入j:Vρ→Vρ。
|2:V存在一个非平凡基本嵌入到包含Vλ的传递类M,入为临界点上方的第一个不动点,也就是,非自明初等嵌入j:V→M,存在满足vρm且超过j临界点的最小不动点为ρ的情况。
|1:Vλ+1到自身的非平凡基本嵌入也就是存在非自明初等嵌入j:Vρ+1→Vρ+1。
|0:存在L(Vλ+1)的非平凡基本嵌入,其临界点<λ公理。
也就是存在非自明初等嵌入j:L(Vρ+1)→L(Vρ+1)。
以下更大的巨大基数的性质被选择公理所否定,但它们的存在不能只在策梅罗-弗伦克尔公理系统(即不使用选择公理ZF)中否定。
莱因哈特基数:莱因哈特基数Reinhardt基数是非平凡基本嵌入的临界点j:V→V的V进入自身。
这个定义明确地引用了适当的类
在标准ZF中,类的形式为{x|Φ(x,a)}对于某些集合a和公式Φ.但是在Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j:V→V.还2有其他已知不一致的Reinhardt基数公式。一是新增功能符号j用ZF的语言,连同公理说明j是的基本嵌入V,以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.另一种是使用类理论,如NBG或KM,它们承认在上述意义上不需要定义的类。又或是有一个公理主张存在被称为Reinhardt基数的基数。
这个基数公理在普通集合论的公理系统ZFC中不能很好地表达,例如,需要考虑可以把真正的类作为理论对象来处理的ZFC的扩展,但是基数κ为reinhardd在某个集合论的universe对自己的初等映射j中,存在κ为j(κ)≠κ的最小顺序数的情况。
这个基数的概念引入后不久,这样的基数的存在与集合论的扩展相矛盾(即,ZFC的这样的扩张和主张Reinhardt基数存在的公理相结合的体系是矛盾的,或者ZFC的这样的扩张可以作为定理证明Reinhardt基数的不存在)。
为了能够记述在以下叙述的Reinhardt基数的定义中j的存在主张,需要那样的扩展。对于某语言l,从L-结构m到L-结构n的映射f是初等的(elementary)是指,对于所有m的要素的组a0,...,an1和所有谓语逻辑中的L-逻辑式(x0,...,xn1),
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