陈舟明显愣了一下。
这是一上来,就考自己吗?
从几何角度研究非交换环?
真要说起来,对于非交换环,陈舟还是有些看法的。
非交换环的一个最常见的例子,或许就是矩阵了。
利用矩阵可以得到一批非交换环的反例。
就好像,若S是包含在环R内的相应维数为无穷的域。
那么A=Re_11+Re_12+Se_22,是左Noether与左Artin的。
但不是右Noerther与右Artin,这说明了链条件在非交换环中有左与右的差别。
在除环上的所有矩阵的有限直积,构成了所谓的半单环类。
这就是通常所说的Wedderburn-Artin定理。
这也是非交换环中第一个精彩的结构定理。
更加有趣的是,它通过矩阵的对称结构,自然说明了左半单环等价于右半单环。
在交换环中,最常见的两个根分别是Jacobson根与幂零根。
前者简称为大根,它是所有极大理想的交。
后者简称为素根或小根,它是所有素理想的交。
而在非交换的情形中,一个根就可能分化为三个根,满足某类条件左、右理想以及理想的交。
事实上,非交换环R,所有极大左理想的交,恰恰就是所有极大右理想的交。
并且它们良好的继承了相应的可逆性质。
因此就称其为非交换环的Jacobson根,也记作rad(R)。
尽管非交换环中有左与右的区别,但也不乏此类殊途同归的有趣现象。
而在交换代数中,由于局部化技术的广泛使用,局部环成为了一个研究的焦点。
但非交换环的局部环技术,似乎受到了限制。
反倒是特别在乎半局部环。
值得注意的是,非交换环中对半局部环的定义,并非是指它只有有限个极大左理想。
而是定义为R/rad(R)是半单环或者是Artin环。
事实上,半局部环R的各(双边)理想均包含rad(R),可以化归为Artin环R/rad(R)中的极大理想,因此至多只有有限多个。
但对于左理想的情形,就必须补充条件“R/rad(R)可交换”。
否则可以考虑域上的矩阵代数,它是半局部的,却可能有无穷多个极大左理想。
至于从几何角度研究非交换环,也就是所谓的从局部方面,研究交换代数的方法。
主要讨论代数簇中的奇异点,以及代数簇在奇异点周围的性质。
但这主要针对的是交换环,而不是非交换环……
陈舟的脑海里飞速的闪过关于非交换环的内容。
可是,自己这只是半吊子的理解,并没有深入研究过。
面对第一次见面的导师,还是这样的一位大佬。
自己还能怎么看?
与其班门弄斧,说着一些
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